 |
| podstawowe twierdzenie Talesa, czyli proste równoległe przecinają ramiona kąta |
 |
twierdzenie Talesa o kącie wpisanym
(szczególny derywat podstawowego twierdzenia Talesa)
|
Twierdzenie Talesa (oraz jego
derywaty) to podstawa nauk wszelakich i większość homo sapiensów dyszących podwójnie nawet nie zdaje sobie z tego sprawy, że wiedza ta ma cały szereg zastosowań praktycznych, o czym na niniejszym zablogowaniu była już przynajmniej
jedna konkretna "pochodna" oraz
inna "dosłowna" wzmianka.
Twierdzenie Talesa ma wiele praktycznych zastosowań,
które pozwalają wyznaczyć nieznane odległości lub długości bez
konieczności ich bezpośredniego mierzenia. Oto kilka w miarę przejrzystych przykładów:
1. Pomiar wysokości wysokich obiektów (drzewa, budynku, wieży, piramidy)
 |
przykładowy rysunek poglądowy
(= nie w pełni "pasuje" do poniższego opisu)
|
Jest to klasyczne i jedno z najpopularniejszych zastosowań.
Sytuacja: Chcesz zmierzyć wysokość wysokiego drzewa, ale nie masz możliwości wspiąć się na nie ani użyć drona.
Jak to zrobić?
1. Wbij w ziemię kij (np. miotłę lub prosty patyk) o znanej długości.
2. Zmierz długość cienia, który rzuca ten kij.
3. Zmierz długość cienia, który rzuca drzewo.
4.
Zastosuj twierdzenie Talesa. Dwie pary boków trójkątów prostokątnych
(utworzonych przez obiekt, jego cień i promienie słoneczne) są
proporcjonalne. Promienie słoneczne padają pod tym samym kątem, więc
trójkąty są podobne.
Obliczenia:
· Wysokość kija (AB) = 1,5 m
· Cień kija (BC) = 2 m
· Cień drzewa (EF) = 20 m
· Szukana wysokość drzewa (DE) = x
Układamy proporcję: AB / BC = DE / EF 1,5 / 2 = x / 20
Rozwiązujemy: x = (1,5 * 20) / 2 = 30 / 2 = 15 m
Wniosek: Drzewo ma 15 metrów wysokości.
2. Wyznaczenie szerokości rzeki (lub jeziora)
Sytuacja: Chcesz określić szerokość rzeki, aby np. zbudować most, ale nie możesz jej przepłynąć.
 |
przykładowy rysunek poglądowy
(= nie w pełni "pasuje" do poniższego opisu) |
Jak to zrobić?
1. Na "swoim" brzegu (punkty A i B) odmierz dowolny, prostopadły do brzegu odcinek (np. 10 metrów).
2. Na końcu tego odcinka (punkt B) wbijasz palik.
3. Idziesz dalej wzdłuż brzegu i wbijasz kolejny palik (punkt C) w tej samej odległości (np. kolejne 10 m od punktu B).
4.
Stojąc w punkcie C, patrzysz na przeciwległy brzeg. Szukasz
charakterystycznego punktu po drugiej stronie (np. dużego kamienia lub
drzewa - punkt D).
5. Idąc wzdłuż brzegu prostopadle do linii
C-D, szukasz takiego miejsca (punkt E), z którego kamień (D) i palik (B)
zasłaniają się wzajemnie (leżą na jednej linii).
Powstają dwa trójkąty podobne: ABC i CDE.
Obliczenia:
· Odcinek AB = 10 m (zmierzony)
· Odcinek BC = 10 m (zmierzony)
· Odcinek CE = 15 m (zmierzony na swoim brzegu!)
· Szukana szerokość rzeki (odcinek AD, ale w praktyce DE) = x
Z podobieństwa trójkątów: AB / DE = BC / CE 10 / x = 10 / 15
Rozwiązujemy: x = (10 * 15) / 10 = 15 m
Wniosek: Rzeka w tym miejscu ma 15 metrów szerokości.
3. Podział odcinka na równe części
Sytuacja:
Musisz podzielić kawałek materiału, listwę lub działkę na 5 idealnie
równych części, a masz do dyspozycji tylko linijkę i swoją wiedzę.
Jak to zrobić?
1. Narysuj odcinek, który chcesz podzielić (np. odcinek AB).
2. Z jednego jego końca (A) poprowadź pod dowolnym kątem półprostą.
3. Za pomocą cyrkla lub linijki odmierz na tej półprostej 5 dowolnych, ale równych odcinków (punkty C1, C2, C3, C4, C5).
4. Połącz ostatni punkt (C5) z końcem odcinka AB (punktem B).
5.
Rysuj proste równoległe do odcinka C5B przechodzące przez punkty C1,
C2, C3, C4. Przetną one odcinek AB dokładnie w punktach, które dzielą go
na 5 równych części.
Działa to dzięki
odwrotnemu twierdzeniu Talesa – jeżeli proste równoległe przecinają
ramiona kąta, to odcinają na nich proporcjonalne odcinki.
 |
| szczególny przypadek podziału odcinka w stosunku 5:3 |
4. W budownictwie i stolarstwie
Majstrowie często nieświadomie używają tej zasady, aby przenieść wymiary w określonej skali lub wyznaczyć linie równoległe.
Przykład: Musisz zamontować półkę na ścianie dokładnie równolegle do sufitu, który może być nierówny.
1. Zmierz odległość od sufitu do planowanej wysokości półki w jednym rogu pokoju (np. 40 cm) i zaznacz punkt.
2. Zrób to samo w drugim rogu. Ale jak zapewnić, że linia między tymi punktami będzie idealnie pozioma, jeśli sufit jest krzywy?
3.
Rozwiązanie: Zastosuj zasadę trójkąta podobnego. Zmierz odległość od
sufitu w kilku punktach wzdłuż ściany, zachowując zawsze tę samą
odległość (np. 40 cm). Punkty te, połączone linią, będą równoległe do
linii sufitu, nawet jeśli jest on nierówny. W praktyce używa się do tego
poziomic lub laserów, które działają w oparciu o tę samą geometryczną
zasadę.
Podsumowanie --->
Główne zalety praktycznego wykorzystania twierdzenia Talesa to:
· Pomiar niedostępnych odległości: Bez konieczności fizycznego pokonywania przeszkód (woda, przepaść, wysoka konstrukcja).
· Użycie prostych narzędzi: Często wystarczy kij, miarka i umiejętność celowania.
· Skalowanie: Łatwe powiększanie lub pomniejszanie projektów z zachowaniem proporcji.
· Dokładność: Metoda geometryczna jest niezwykle precyzyjna, jeśli pomiary wykonamy starannie.
Aby w pełni uzmysłowić sobie powyższą wiedzę,
wykonaj kilka własnoręcznych rysunków na papierze, a na pewno wszystko stanie się znacznie prostsze. Jeżeli temat Cię zainteresuje i zapragniesz nauczyć się rysować kąty o miarach
15°, 30°, 45°, 60°, 75° i oczywiście
90° tylko przy pomocy linijki i cyrkla (lub i nawet zwykłego sznurka czy nitki oraz choćby i szpilek czy gwoździ, bo nie każdy przecież posiada cyrkiel), tzn. całkowicie bez pomocy kątomierza czy choćby ekierki, to zajrzyj
tutuż.
(Marcin Perliński)
_00000_updated~3.png)
